Was sind Zahlensysteme?
Zahlensysteme sind Methoden zur Darstellung von Zahlen durch geeignete Ziffern. Im Alltag verwenden wir das Dezimalsystem, das auf der Basis 10 beruht. Ein Zahlensystem ist definierbar durch seine Basis (R) und den Ziffern (Z), die in diesem System verwendet werden.
Wieso sind Zahlensysteme wichtig?
Zahlensysteme sind die Grundlage für die Datenverarbeitung in Computern. Computer verwenden das Binärsystem, weil elektronische Schaltungen nur zwei stabile Zustände haben: Strom fließt (1) oder nicht (0).
Das Hexadezimalsystem wird häufig als kompakte Darstellung verwendet, weil vier Binärziffern genau einer Hexadezimalziffer entsprechen. So wird 1111 1111 (binär) zu FF (hexadezimal) – viel einfacher zu lesen!
Quiz 1: Zahlensysteme
Zahlensysteme im Überblick
Dezimalsystem
Jede Stelle kann die Werte 0 bis 9 annehmen und ermöglicht so einfaches Rechnen. Das Dezimalsystem beruht auf der menschlichen Zählweise mit zehn Fingern.
RD = 10 (Basis)
ZD = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Wie berechnet sich das?
Jede Stelle einer Zahl hat einen Stellenwert, der sich aus der Basis und der Position der Stelle ergibt. Z.B. hat die Zahl 345 im Dezimalsystem folgende Stellenwerte:
- 3 ⋅ 102 = 300 (Hunderterstelle)
- 4 ⋅ 101 = 40 (Zehnerstelle)
- 5 ⋅ 100 = 5 (Einerstelle)
[345]10 = 3 ⋅ 102 + 4 ⋅ 101 + 5 ⋅ 100
Binärsystem
Im Binärsystem kann jede Stelle nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Durch diese einfache Struktur lassen sich Informationen klar darstellen und technisch leicht verarbeiten, weshalb das Binärsystem die Grundlage moderner Computertechnik bildet.
RB = 2 (Basis)
ZB = {0, 1}
Wie berechnet sich das?
Jede Stelle einer binären Zahl hat einen Stellenwert, der sich aus der Basis und der Position der Stelle ergibt. Z.B. hat die Zahl 1011 im Binärsystem folgende Stellenwerte:
- 1 ⋅ 23 = 8 (Achterstelle)
- 0 ⋅ 22 = 0 (Viererstelle)
- 1 ⋅ 21 = 2 (Zweierstelle)
- 1 ⋅ 20 = 1 (Einerstelle)
[1011]2 = 1 ⋅ 23 + 0 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 = [13]10
Oktalsystem
Im Oktalsystem kann jede Stelle die Werte 0 bis 7 annehmen. Es basiert auf der Stellenwertdarstellung zur Basis acht und wird vor allem in der Informatik als kompakte Alternative zum Binärsystem verwendet.
RO = 8 (Basis)
ZO = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Wie berechnet sich das?
Jede Stelle einer oktalen Zahl hat einen Stellenwert, der sich aus der Basis und der Position der Stelle ergibt. Z.B. hat die Zahl 725 im Oktalsystem folgende Stellenwerte:
- 7 ⋅ 82 = 448 (64er Stelle)
- 2 ⋅ 81 = 16 (8er Stelle)
- 5 ⋅ 80 = 5 (1er Stelle)
[725]8 = 7 ⋅ 82 + 2 ⋅ 81 + 5 ⋅ 80
Hexadezimalsystem
Im Hexadezimalsystem kann jede Stelle die Werte 0 bis 9 sowie A bis F annehmen. Es basiert auf der Basis 16 und wird in der Informatik häufig genutzt, um binäre Werte übersichtlich darzustellen.
RH = 16 (Basis)
ZH = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Wie berechnet sich das?
Jede Stelle einer hexadezimalen Zahl hat einen Stellenwert, der sich aus der Basis und der Position der Stelle ergibt. Z.B. hat die Zahl 2F3 im Hexadezimalsystem folgende Stellenwerte:
- 2 ⋅ 162 = 512 (256er Stelle)
- F (15) ⋅ 161 = 240 (16er Stelle)
- 3 ⋅ 160 = 3 (1er Stelle)
[2F3]16 = 2 ⋅ 162 + 15 ⋅ 161 + 3 ⋅ 160 = [755]10
Quiz 2: Zahlensysteme
Umrechnung zwischen Zahlensystemen
Hier sind einige Beispiele, wie Zahlen in verschiedenen Systemen dargestellt werden:
| DDezimal | BBinär | OOktal | HHexadezimal |
|---|---|---|---|
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
Probiere es selbst aus:
Quiz 3: Zahlensysteme
Praktische Anwendungen
Speicheradressen
Computer verwenden Binär- und Hexadezimalzahlen, um Speicheradressen darzustellen. Jede Adresse verweist auf einen bestimmten Speicherort.
Datenrepräsentation
Alle Daten in einem Computer, ob Text, Bilder oder Videos, werden letztlich als Binärzahlen gespeichert und verarbeitet.
Farbcodierung
Farben in digitalen Medien werden oft in Hexadezimalwerten dargestellt, z.B. #FF5733 für ein bestimmtes Orange.
Berechtigungen (Unix/Linux)
Dateiberechtigungen werden oft oktal dargestellt (z.B. 755)